Калькулятор комплексных чисел. вычисление выражений с комплексными числами

Мир математики

Достойный внимания сайт, предоставляющий после полученного ответа подробные пояснения. Работать с ним также очень легко:

вводите условия в соответствующие поля;

• выбираете нужное действие;
• после нажатия на выбранную операцию будет начато вычисление и выдан результат.

Здесь вы найдете при необходимости подробную инструкцию для работы, так что точно не запутаетесь. Доступны разные варианты вычислительных сервисов, к примеру, матричный, инженерный и прочие.

Полезный контент:

• Формат heic, чем открыть, что это такое?
• Перевод с английского на русский с транскрипцией — лучшие онлайн сервисы
• Видеодрайвер перестал отвечать и был восстановлен — что за ошибка?
• Запись видео с экрана компьютера — какие программы в этом помогут?
• Караоке онлайн петь бесплатно с баллами — какие сервисы в этом помогут

Операции с комплексными числами

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел. Например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше.

Сложение и вычитание комплексных чисел

Комплексные числа могут складываться и вычитаться как обычные.

Рассмотрим точку, обозначающую число 1+2i. Прибавим к нему число 3+1i. Можно сложить столбиком и получить 4+3i. Геометрически это обычное сложение векторов.

Разность комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, представляет собой комплексное число, действительная часть которого и коэффициент при мнимой части равны соответственно разности действительных частей и разности коэффициентов при мнимой части уменьшаемого и вычитаемого.

В общем виде вычитание комплексных чисел z1 = a+bi и z2 = c+di можно записать так: z1-z2 = (a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i.

Несколько примеров вычитания:

• (5+9i)-(3+24i) = (5-3)+(9-24)i = 2-15i.
• (-4+16i)-(11-8i) = (-4-11)+(16+8)i = -15+24i.

Умножение и деление комплексных чисел

Комплексные числа перемежаются точно также, как и действительные числа. Рассмотрим несколько примеров.

2×(1+1i) = 2+2i. Геометрически умножение на два выглядит как растягивание прямой с точкой на плоскости в два раза.

Умножать на i также не сложно. Известно, что i отвечает четверти оборота. Например, чтобы умножить 3+1i на i, достаточно повернуть точку на четверть оборота. Получаем -1+3i.

Умножим два комплексных числа 2+1,5i и -1+2,4i:

Сначала нужно умножить (-1+2,4 i) на два, затем на 1,5i. Далее складываются результаты. (2+1,5i)×(-1+2,4i) = 2(-1+2,4i)+1,5i(-1+2,4i) = -2+4,8i-1,5i+3,6×i×i. i в квадрате равно минус 1. Соответственно -2+4,8i-1,5i+3,6×i×i = -2+4,8i-1,5i-3,6 = -5,6+3,3i.

Частное комплексных чисел z1 = x1+y1i и z2 = x2+y2i в алгебраической форме находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное число к знаменателю:

z1÷z2 = (x1+y1i)÷(x2+y2i) = ((x1+y1i)×(x2-y2i))÷((x2+y2i)×(x2-y2i)) = ((x1×x2+y1×y2)÷(x2²+y2²)) + (i×(x2×y1-x1×y2)÷(x2²+y2²)).

Рассмотрим пример деления -1+3i на 1+2i. Используя формулу для нахождения частного, получаем:

z1÷z2 = (-1+3i)÷(1+2i) = ((-1+3i)×(1-2i))÷((1+2i)×(1-2i)) = ((-1×1+3×2)÷(1²+2²))+(i×(3×1+(-1)×(-2))÷(1²+2²)) = 5÷5+i×5÷5 = 1+i.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

      Рассмотрим плоскость с заданной на ней   Oxy   и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

      Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью, и будем представлять комплексное число   z = x + i y   радиус–вектором с координатами   (x , y).

      Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью, а ось ординат Oy – мнимой осью.

      При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

      Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа   z.

      Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором    z.

      Аргумент комплексного числа  z  считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к  радиус-вектору z  происходит против часовой стрелки, и отрицательным  — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

      Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

      Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где  k  — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое   arg z   и удовлетворяющее неравенствам:

      Тогда оказывается справедливым равенство:

      Если для комплексного числа   z = x + i y   нам известны его модуль   r = | z | и его аргумент φ, то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

(3)

      Если же комплексное число   z = x + i y   задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа   x   и   y,   то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

      Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом  k  обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

      Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа   z = x + i y

Расположениечисла  z	Знаки x и y	Главное значение аргумента	Аргумент	Примеры
Положительная вещественнаяполуось	x > 0 , y = 0	φ = 2kπ
	x > 0 , y > 0
Положительнаямнимаяполуось	x = 0 , y > 0
	x < 0 , y > 0
Отрицательнаявещественнаяполуось	x < 0 , y = 0	π	φ = π + 2kπ
	x < 0 , y < 0
Отрицательнаямнимаяполуось	x = 0 , y < 0
	x > 0 , y < 0

Расположениечисла  z	Положительнаявещественнаяполуось
Знаки x и y	x > 0 , y = 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент	φ = 2kπ
Примеры

Расположениечисла  z
Знаки x и y	x > 0 , y > 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположениечисла  z	Положительнаямнимаяполуось
Знаки x и y	x = 0 , y > 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположениечисла  z
Знаки x и y	x < 0 , y > 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположениечисла  z	Отрицательнаявещественнаяполуось
Знаки x и y	x < 0 , y = 0
Главноезначениеаргумента	π
Аргумент	φ = π + 2kπ
Примеры

Расположениечисла  z
Знаки x и y	x < 0 , y < 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположениечисла  z	Отрицательнаямнимаяполуось
Знаки x и y	x = 0 , y < 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположениечисла  z
Знаки x и y	x < 0 , y < 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположение числа   z : Положительная вещественная полуось Знаки x и y : x > 0 ,   y = 0 Главное значение аргумента: Аргумент: φ = 2kπ Примеры:

Расположение числа   z : Знаки x и y : x > 0 ,   y > 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа   z : Положительная мнимая полуось Знаки x и y : x = 0 ,   y > 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа   z : Знаки x и y : x < 0 ,   y > 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа   z : Отрицательная вещественная полуось Знаки x и y : x < 0 ,   y = 0 Главное значение аргумента: π Аргумент: φ = π + 2kπ Примеры:

Расположение числа   z : Знаки x и y : x < 0 ,   y < 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа   z : Отрицательная мнимая полуось Знаки x и y : x = 0 ,   y < 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа   z : Знаки x и y : x < 0 ,   y < 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Решение интегралов

Онлайн калькулятор предоставляет инструменты для интегрирования функций. Вычисления производятся как с неопределенными, так и с определенными интегралами. Ввод интегралов в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:∫ f(x) — для неопределенного интеграла;b_a∫ f(x) — для определенного интеграла.

В определенном интеграле кроме самой функции необходимо задать нижний и верхний пределы.

Примеры вычислений интегралов:

$$\int \left(\frac{x^4}{x^3-6x^2+11x-6}\right)dx$$ (найти интеграл функции)

$$\int \left(\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}\right)dx$$ (решить интеграл)

$$\int \left(\left(x^2+3x+5\right)\cos 2x\right)dx$$ (вычислить интеграл)

$$\int \left(\frac{x+\arccos ^2\left(3x\right)}{\sqrt{1-9x^2}}\right)dx$$ (решить интеграл)

$$\int _1^{e^3}\left(\frac{1}{x\sqrt{1+\log \left(x\right)}}\right)dx$$ (найти интеграл функции)

$$\int _{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\left(\sin 6x\sin 7x\right)dx$$ (решить интеграл)

$$\int _{+\infty }^{-\infty }\left(\frac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+4\right)}\right)dx$$ (решить интеграл)

$$\int _1^2\left(x^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}\right)dx$$ (вычислить интеграл)

Вычисление выражений с логарифмами

В калькуляторе кнопкой log_e(x) возможно задать натуральный логарифм, т.е логарифм с основанием «e»: log_e(x) — это ln(x). Для того чтобы ввести логарифм с другим основанием нужно преобразовать логарифм по следующей формуле: $$\log_a \left(b\right) = \frac{\log \left(b\right)}{\log \left(a\right)}$$ Например, $$\log_{3} \left(5x-1\right) = \frac{\log \left(5x-1\right)}{\log \left(3\right)}$$

Примеры решений выражений с логарифмами:

$$\log _3\left(5x-1\right)=2$$ преобразуем в $$\frac{\log \left(5x-1\right)}{\log \left(3\right)}=2$$ (решить уравнение)

$$\log _2\left(x\right)=2\log _x\left(2\right)-1$$ преобразуем в $$\frac{\log \left(x\right)}{\log \left(2\right)}=2\cdot \frac{\log \left(2\right)}{\log \left(x\right)}-1$$ (найти x в уравнении)

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

      Пусть — произвольное комплексное число, отличное от нуля.

      Корнем   n — ой степени из числа  z , где  называют такое комплексное число   z = r e iφ , которое является решением уравнения

z n = z .

(8)

      Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна   2kπ ,   где   k   — произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства

следствием которых являются равенства

(9)

      Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет   n   различных корней

(10)

где

причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов   z_k   при   k = 0 , … , n – 1   располагаются в вершинах правильного   n — угольника, вписанного в окружность радиуса  с центром в начале координат.

      Замечание. В случае   n = 2   уравнение (8) имеет два различных корня   z₁   и   z₂ , отличающихся знаком:

z₂ = – z₁ .

      Пример 1. Найти все корни уравнения

z3 = – 8i .

      Решение. Поскольку

то по формуле (10) получаем:

      Следовательно,

      Пример 2. Решить уравнение

z2 + 2z + 2 = 0 .

      Решение. Поскольку отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:

      Так как

то решения уравнения имеют вид

z₁ = – 1 + i ,       z₂ = – 1 – i .

Онлайн калькулятор уравнений, интегралов, производных, пределов, дробей и пр.

Точность:
123456∞?

Перенос?

28.2-\sqrt{\sqrt{1000}\div 2^2\left(-3\frac{1}{5}\cdot \left(-\frac{5}{8}\right)\right)}

←
→
⌫
C

(
)
ab
√
½

7
8
9
÷
≥=

4
5
6
×
xyz

1
2
3
—
sin

.

 
+
f(x)

↵

Результат

$$28.2-\sqrt{\sqrt{1000}\div2^{2}\cdot\left(-3\frac{1}{5}\cdot-\frac{5}{8}\right)} = \newline\newline 28.2-\sqrt{\sqrt{1000}\div2^{2}\cdot\left(\frac{-16}{5}\cdot-\frac{5}{8}\right)} = \newline\newline 28.2-\sqrt{\sqrt{1000}\div2^{2}\cdot\left(\frac{-16\cdot-5}{5\cdot8}\right)} = \newline\newline 28.2-\sqrt{\sqrt{1000}\div2^{2}\cdot\left(\frac{80}{40}\right)} = \newline\newline 28.2-\sqrt{\sqrt{1000}\div2^{2}\cdot\left(\frac{2}{1}\right)} = \newline\newline 28.2-\sqrt{\sqrt{1000}\div2^{2}\cdot2} = \newline\newline 28.2-\sqrt{15.811388300842} = \newline\newline 24.223646356165$$

Упрощение выражений, раскрытие скобок, разложение многочленов на множители

Калькулятор позволяет произвести некоторые алгебраические преобразования с выражениями. Результат выводится в нескольких вариантах упрощения/разложения/раскрытия скобок и пр.

Примеры:

$$x^4+x^2a^2+a^4$$ (разложить на множители)

$$\frac{6x^3-24x^2}{6x^3}$$ (разложить на множители)

$$(5x-2y^2)(5x+2y^2)$$ (раскрыть скобки)

$$(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)(a^8+b^8)$$ (раскрыть скобки)

$$\frac{a^3-8}{a^2+2a+4}$$ (раскрыть скобки)

$$\frac{\left(\frac{2a}{2a+b}-\frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2}\right)}{\left(\frac{2a}{4a^2-b^2}+\frac{1}{b-2a}\right)}+\frac{8a^2}{2a+b}$$ (упростить выражение)

$$\frac{1-\sin ^4\left(x\right)-\cos ^4\left(x\right)}{2\sin ^4\left(x\right)}+1$$ (упростить выражение)

$$\left(\sqrt{a}-\frac{a}{\sqrt{a}+1}\right)\cdot \frac{a-1}{\sqrt{a}}$$ (упростить выражение)

Пояснения к калькулятору

1. Для решения математического выражения необходимо набрать его в поле ввода с помощью предложенной виртуальной клавиатуры и нажать кнопку ↵.
2. Управлять курсором можно кликами в нужное местоположение в поле ввода или с помощью клавиш со стрелками ← и →.
3. ⌫ — удалить в поле ввода символ слева от курсора.
4. C — очистить поле ввода.
5. При использовании скобок ( ) в выражении в целях упрощения может производится автоматическое закрытие, ранее открытых скобок.
6. Для того чтобы ввести смешанное число или дробь необходимо нажать кнопку ½, ввести сначала значение числителя, затем нажать кнопку со стрелкой вправо → и внести значение знаменателя дроби. Для ввода целой части смешанного числа необходимо установить курсор перед дробью с помощью клавиши ← и ввести число.
7. Ввод числа в n-ой степени и квадратного корня прозводится кнопками ab и √ соответственно. Завершить ввод значения в степени или в корне можно клавишей →.

Деление комплексных чисел

Давайте разделим (3+2i)/(1–4i)

В этот момент вы можете подумать, что можете просто разделить действительные и мнимые части… но не так быстро.

Как и в алгебре, мы должны разделить оба члена числителя на знаменатель, что оставляет нас с той же проблемой:

Что на
самом деле означает деление на комплексное число?

По правде говоря, это сбивает с толку. Разве не было бы хорошо, если бы мы могли избавиться от комплексного числа в знаменателе?

Хорошие
новости → Именно это мы и собираемся сделать!

Сопряжённые числа

Ключом к решению этой
проблемы является выяснение того, как преобразовать знаменатель в вещественное
число.

Самый простой способ
сделать это — использовать комплексное
сопряжение.

Комплексно-сопряжённое число какому-то числу это тоже самое число только с другим знаком возле мнимой части. И когда мы будем умножать комплексно-сопряжённые числа мы всегда будем получать действительное число.

Например, комплексно
сопряжённое число (1–4i) равно (1+4i).

Конечно, мы не можем просто умножить знаменатель на (1+4i). Как и с любой дробью, если мы умножаем знаменатель на значение, мы также должны умножить числитель на это значение

Теперь у нас есть произведение двух комплексных чисел в числителе дроби. С ними мы знаем как обращаться из предыдущего урока. А в знаменатели дроби получили 17, что означает уменьшение вектора в 17 раз.

Вы можете решить это с помощью графика или алгебраически:

Это было не так уж и сложно, не так ли?